Cấu trúc nhân quả và hình học toàn cục

Biểu đồ Penrose–Carter cho phép thể hiện vũ trụ Minkowski rộng vô hạn trên biểu đồ giới hạn.

Trong thuyết tương đối rộng, không vật nào có vận tốc bằng hoặc vượt tốc độ ánh sáng. Không có sự ảnh hưởng nào từ sự kiện A có thể đến vị trí X trước khi ánh sáng gửi từ A đến X (xem thêm phần Chuyển sang tương đối tính ở trên). Hệ quả của nó là bằng cách sử dụng mọi tuyến thế giới của ánh sáng (light worldline-hay đường trắc địa không) chúng ta sẽ thu được thông tin về cấu trúc nhân quả của không thời gian. Cấu trúc này được thể hiện bằng biểu đồ Penrose–Carter trong đó những vùng không gian lớn vô hạn và khoảng thời gian lớn vô hạn được co lại một cách compact hóa để vừa với một biểu đồ nhỏ, trong khi vẫn cho phép ánh sáng chuyển động trên đường nghiêng 45° hoặc 135° như trong các biểu đồ Minkowski.[144]

Nhận thức được vai trò quan trọng của cấu trúc nhân quả, nhà toán học Roger Penrose và những người khác đã phát triển ra hình học toàn cục. Trong hình học này, đối tượng nghiên cứu không phải là một nghiệm đặc biệt (hoặc họ nghiệm) của phương trình Einstein, mà là những liên hệ thỏa mãn cho mọi đường trắc địa, ví dụ như phương trình Raychaudhuri, cũng như những giả thiết không cụ thể về bản chất của vật chất (như được miêu tả thành các điều kiện năng lượng) và sử dụng để suy ra các kết quả tổng quát.[145]

Chân trời

Sử dụng hình học toàn cục, người ta chứng minh được một số không thời gian chứa những mặt biên gọi là chân trời (hay chân trời sự kiện), mặt phân chia một vùng tách khỏi phần còn lại của không thời gian. Ví dụ hay gặp nhất đó là các lỗ đen: nếu khối lượng bị nén vào một vùng không gian đủ nhỏ (như được nêu trong phỏng đoán vòng-hoop conjecture), với bán kính Schwarzschild tương ứng trong nghiệm Schwarzschild[146]), và ánh sáng không thể thoát từ bên trong ra ngoài. Do không có vật nào vượt qua được ánh sáng, mọi vật chất rơi vào trong đều bị giam giữ lại. Tuy mọi vật không thể thoát ra ngoài nhưng việc vượt qua chân trời sự kiện đi vào bên trong lỗ đen là có thể, và chân trời của lỗ đen chỉ là kỳ dị toán học chứ không phải là kỳ dị vật lý thực (cũng xem phần Cơ sở cho mô hình vật lý ở trên).[147]

Mặt cầu sản công của lỗ đen quay, dựa vào tính chất mặt cầu sản công mà về lý thuyết có thể lấy được năng lượng từ một lỗ đen quay.

Những nghiên cứu ban đầu về các nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein, nổi bật là nghiệm Schwarzschild đối xứng cầu (thường dùng để miêu tả lỗ đen dừng (đứng yên) và không quay) và nghiệm Kerr đối xứng trục (dùng để miêu tả lỗ đen dừng, quay quanh trục của nó, lỗ đen này có thêm những đặc trưng mới như mặt cầu sản công-ergosphere). Bằng sử dụng hình học toàn cục, các nhà vật lý sau đó đã phát hiện thêm những tính chất tổng quát của lỗ đen. Đó là miêu tả bằng vật lý các lỗ đen chỉ đơn giản cần mười một tham số xác định bao gồm năng lượng (1 tham số), động lượng (3), mômen động lượng (3), vị trí của nó tại thời gian cụ thể (3) và điện tích (1) lỗ đen. Đây chính là phát biểu của định lý về đặc trưng duy nhất của lỗ đen: "các lỗ đen không có tóc", nghĩa là nó không có những đặc điểm khác phân biệt giống như các kiểu tóc ở người. Nó không phụ thuộc vào sự phức tạp về cấu trúc cũng như thành phần, trạng thái của thiên thể trước khi suy sụp hấp dẫn hình thành lên lỗ đen, lỗ đen sinh ra (sau khi quá trình suy sụp phát ra sóng hấp dẫn) có những đặc điểm rất đơn giản.[148]

Đáng chú ý hơn nữa, có một bộ các định luật gọi là cơ học lỗ đen, tương tự như các định luật nhiệt động lực học. Ví dụ, định luật hai của cơ học lỗ đen, diện tích của chân trời sự kiện của lỗ đen tổng quát sẽ không bao giờ giảm theo thời gian, tương tự như entropy của hệ nhiệt động lực học. Định luật này giới hạn năng lượng mà chúng ta có thể thu được theo nghĩa cổ điển từ một lỗ đen quay (ví dụ theo tiến trình Penrose).[149] Có chứng cứ mạnh cho rằng các định luật của cơ học lỗ đen thực tế chỉ là tập con của các định luật nhiệt động lực học, và diện tích chân trời sự kiện tỷ lệ với entropy của nó.[150] Kết quả này dẫn đến sự sửa đổi các định luật cơ học lỗ đen ban đầu: như định luật thứ hai sẽ trở thành một phần của định luật thứ hai trong nhiệt động lực học, diện tích chân trời lỗ đen không thể giảm—trong khoảng thời gian những quá trình khác đảm bảo rằng, trên toàn thể entropy luôn tăng. Khi xét trên phương diện là một vật trong cân bằng nhiệt động với nhiệt độ khác không, lỗ đen sẽ phát ra bức xạ nhiệt. Những tính toán bán cổ điển cho thấy kết quả đúng như vậy, với bề mặt hấp dẫn đóng vai trò là nhiệt độ trong định luật Planck. Bức xạ này gọi là bức xạ Hawking (xem phần lý thuyết lượng tử bên dưới).[151]

Ngoài chân trời sự kiện ở các lỗ đen còn có những loại chân trời khác. Trong mô hình vũ trụ đang giãn nở, một quan sát viên sẽ thấy rằng một số vùng không thời gian trong quá khứ không bao giờ quan sát được ("chân trời hạt"), và một số vùng trong tương lai không bao giờ bị ảnh hưởng (chân trời vũ trụ học).[152] Ngay cả trong không thời gian Minkowski phẳng, được miêu tả bằng một quan sát viên đang chuyển động gia tốc đều (không gian Rindler), sẽ có chân trời xuất hiện kết hợp với dạng bức xạ bán cổ điển gọi là "hiệu ứng Unruh".[153]

Kỳ dị

Một đặc trưng tổng quát khác—và khá nhiễu loạn—của thuyết tương đối tổng quát đó là sự xuất hiện của những kỳ dị không thời gian. Chúng ta có thể miêu tả cấu trúc không thời gian bằng sử dụng các đường trắc địa kiểu thời gian cũng như các đường truyền tia sáng— mọi con đường khả dĩ mà ánh sáng hay vật chất có thể di chuyển được. Nhưng một số nghiệm của phương trình trường Einstein có những "mỏm sắc"—những vùng gọi là kỳ dị không thời gian, nơi đường trắc địa của ánh sáng và hạt kết thúc đột ngột, và hình học của không thời gian không còn được xác định. Trong trường hợp thú vị hơn, có những "kỳ dị độ cong", nơi các đại lượng đặc trưng bởi độ cong không thời gian, như độ cong vô hướng Ricci hoặc bình phương độ cong Riemann, nhận giá trị vô hạn.[154] Những ví dụ thường gặp về không thời gian với kỳ dị tương lai—nơi tuyến thế giới kết thúc (worldline)—là nghiệm Schwarzschild, miêu tả điểm kỳ dị bên trong lỗ đen dừng không quay (xem Cơ sở cho mô hình vật lý ở trên),[155] hoặc nghiệm Kerr miêu tả vòng kỳ dị bên trong một lỗ đen dừng quay quanh trục của nó.[156] Nghiệm Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker và những không thời gian khác miêu tả vũ trụ có điểm kỳ dị quá khứ nơi các tuyến thế giới bắt đầu, hay ở kỳ dị của Vụ Nổ Lớn, cũng như chúng có những điểm kỳ dị tương lai (như Vụ co lớn).[157]

Những nghiệm miêu tả ở trên có một số đặc điểm đối xứng—và do vậy đã được đơn giản hóa—và biết đâu sự xuất hiện của những kỳ dị này chỉ là sự lý tưởng hóa nhân tạo (do giả sử tính đối xứng và chọn hệ tọa độ-xem mục Chân trời ở trên).[158] Tuy nhiên theo định lý điểm kỳ dị, chứng minh bằng phương pháp của hình học toàn cục, nói rằng: các điểm kỳ dị là những đặc điểm chung nội tại của thuyết tương đối tổng quát, và sự suy sụp hấp dẫn của ngôi sao thực với khối lượng đủ lớn trở thành lỗ đen không tránh khỏi xuất hiện điểm kỳ dị này[159] cũng như tồn tại điểm kỳ dị ở sự khởi đầu của những mô hình vũ trụ đang giãn nở.[160] Tuy vậy, định lý này nói rất ít về đặc điểm của các kỳ dị, và hiện nay đang có những nỗ lực nghiên cứu nhằm phân loại cấu trúc những thực thể này (như phỏng đoán BKL).[161] "Phỏng đoán sự kiểm duyệt vũ trụ" phát biểu rằng mọi kỳ dị tương lai thực (cấu hình vật chất không có đối xứng hoàn hảo, cũng như các đặc tính thực khác) bị ẩn giấu an toàn bên dưới chân trời sự kiện, và do vậy quan sát viên ở xa sẽ không nhìn thấy được. Tuy chưa có chứng minh chặt chẽ bằng toán học, các mô phỏng máy tính đều ủng hộ kết quả của phỏng đoán này.[162]

Phương trình tiến hóa

Mỗi nghiệm của phương trình Einstein chứa toàn bộ lịch sử của một không thời gian mà nó miêu tả — nó không chỉ chụp lại vật thể hoạt động như thế nào mà còn là toàn bộ không thời gian có thể chứa vật chất. Nghiệm miêu tả trạng thái của vật chất và hình học khắp nơi và tại mỗi thời điểm trong không thời gian. Do tuân theo nguyên lý hiệp biến tổng quát (tính bất biến của phương trình các định luật vật lý dưới mọi phép biến đổi hệ tọa độ), lý thuyết của Einstein không đủ để xác định phương trình tiến hóa theo thời gian của tenxơ mêtric. Nó phải kết hợp với các điều kiện tọa độ, tương tự như phép trộn chuẩn (gauge fixing) trong những lý thuyết trường khác.[163]

Để hiểu phương trình trường Einstein như là hệ phương trình vi phân riêng phần, sẽ thuận lợi khi chúng ta thiết lập chúng theo cách miêu tả sự tiến hóa của cấu trúc hình học theo thời gian. Điều này được thực hiện trong hình thức "3+1", với không thời gian tách ra thành 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian. Ví dụ như hình thức luận ADM.[164] Cách phân tách này cho thấy các phương trình tiến hóa của không thời gian trong thuyết tương đối rộng hoạt động trơn tru: phương trình luôn luôn tồn tại nghiệm xác định duy nhất, và phù hợp với điều kiện ban đầu định trước.[165] Những hình thức luận phân tách phương trình Einstein là cơ sở cho ngành mô phỏng không thời gian trong thuyết tương đối trên siêu máy tính.[166]

Các đại lượng toàn cục và giả cục bộ

Khái niệm phương trình tiến hóa có liên hệ mật thiết với những khía cạnh khác của vật lý tương đối tính tổng quát. Trong lý thuyết Einstein, chúng ta không thể có được một định nghĩa chung cho một thuộc tính có vẻ đơn giản của một hệ như tổng khối lượng (hay năng lượng). Lý do chính đó là trường hấp dẫn—như những trường vật lý khác— phải được gán cho một lượng năng lượng xác định, nhưng các nhà vật lý đã chứng minh rằng về cơ bản chúng ta không thể cục bộ hóa (hay định xứ) năng lượng hấp dẫn (tức là không xác định cụ thể được năng lượng hấp dẫn ở phạm vi cục bộ).[167]

Mặc dù vậy, chúng ta vẫn có thể xác định tổng khối lượng của hệ (khối lượng toàn cục), hoặc sử dụng kỹ thuật "quan sát viên ở xa vô tận" (khối lượng ADM)[168] hoặc các đối xứng phù hợp (khối lượng Komar).[169] Nếu chúng ta trừ vào tổng khối lượng của hệ bởi năng lượng do sóng hấp dẫn mang ra xa vô tận, kết quả thu được gọi là khối lượng Bondi đối với quan sát viên ở xa vô tận.[170] Cũng giống như trong vật lý cổ điển, các nhà vật lý đã chứng minh được những khối lượng này phải dương.[171] Và cũng có tương ứng định nghĩa khối lượng (năng lượng) toàn cục với việc định nghĩa động lượng và mômen động lượng trên toàn cục.[172] Cũng đã có những cố gắng cho việc định nghĩa những đại lượng giả cục bộ, như khối lượng của một hệ cô lập bằng cách chỉ sử dụng những đại lượng được xác định bên trong phạm vi của không thời gian chứa hệ đó. Mục đích của việc này là nhằm thu được những đại lượng giả cục bộ có ích trong việc miêu tả hệ cô lập, như việc phát biểu chính xác bằng toán học phỏng đoán vòng (hoop conjecture).[173]